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II/ Notion de Matrice :
1) Pourquoi la notation matricielle ? :
Une transformation du plan qui associe le point A1 au point A2 est définie comme suit :
f : (X1,Y1) (X2,Y2)


Cette transformation est dite linéaire si et seulement si:
f(u+v) = f(u) + f(v)
f(u) = * f(u)

On peux alors écrire les coordonnées du point de la façon suivante :
X2 = 1 X 1 + 2 Y 1 + 3 Z 1
Y2 = 1 X1 + 2 Y1 + 3 Y1
Z2= 1 X1 + 2 Z1 + 3 Z1

On remarque le positionnement des coefficients de X1, Y1 et Z1. Il est aisé de passer en notation matricielle.
On obtient donc :
= *

Toutes les transformations linéaires peuvent de mettre sous la forme d'une matrice 3*3 (dans le plan, 2*2). Cela simplifie énormément les calculs informatiques dans la mesure où l'on donne à l'ordinateur juste une matrice, qui représente le calcul à effectuer, plutôt que le calcul lui-même.

Note : Nous n'utiliserons dans ce rapport que la notation matricielle française . On place les matrices de coordonnées des points à gauche du signe multiplicateur, les matrices de transformation à droite, par opposition à la notation américaine.

2) Matrices remarquables :

La première matrice remarquable est celle qui à un point A associe le point B de mêmes coordonnées. C'est la matrice identité. Elle est la suivante :

En 2D En 3D

Si l'on fait le produit des coordonnées de A(X,Y,Z) par cette matrice identité, on a :

* = =

Si les procédures pour opérer sur des matrices vous sont inconnues, voici un exemple d'addition et un de multiplication :

- L'addition : + =
- La multiplication : + =

Grâce aux multiplications matricielles, on pourra composer les transformations linéaires. On obtiendra en sortie une seule matrice de transformation qui représente tous les calculs à effectuer.



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