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5) Notions de matrice homogène :
a) Présentation générale
U et V sont des matrices de transformations. X représente la matrice de coordonnées d’un point A dans l’espace.
Soient X’ = U*X
X’’= V*X’

X’’ donne donc les coordonnées de l’image de A par la composée des transformations de U et V.
Donc X’’ = V*U*X = W*X avec W = V*U
On note W la matrice homogène de la composition de ces 2 transformations (W de dimension 4*4 dans l’espace).

Dans le plan, les différentes façons d’exprimer les coordonnées d’un point sont:
cartésiennes homogènes Avec x = X/T
y = Y/T

Dans l’espace, cela donne :
cartésiennes homogènes Avec x = X/T
y = Y/T
z = Z/T

T est appelé facteur d’échelle (T 0).En pratique on choisit T = 1.

T = 1
T = 2

b) Propriétés :
Les coordonnées homogènes permettent de représenter les points à l’infini. Un point à l’infini a pour coordonnées homogènes (X, Y, Z, T) avec T tendant vers 0.
Certains problèmes peuvent être résolus plus avantageusement en coordonnées homogènes.
Par exemple, il est plus pratique pour composer plusieurs tranformations d’utiliser la multiplication comme seule opération.Or, nous l’avons vu, la translation requiert l’usage d’une addition. Donc nous utiliserons l’expression en coordonnées homogènes de cette transformation.
Matrices de transformations homogènes les plus utilisées :

Matrice de translation de vecteur V(Tx,Ty,Tz) : Matrice de transformation inverse V-1(-Tx,-Ty,-Tz)
Plan Espace Plan Espace
Matrice de changement d'échelle (centre : origine du repère, rapport : k, non déformatrice) : Matrice de transformation inverse ( centre : origine du repère, rapport : 1/k )
Plan Espace Plan Espace


Forme générale d'une matrice homogène de transformation :

Le rôle des éléments d'une matrice homogène est différent selon leur position dans la matrice. Voici représenté l'allure générale d'une matrice homogène de transformation :


On voit donc clairement que la matrice homogène permet une composition aisée des transformations.


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