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3) La projection perspective :
a) Présentation générale :
Dans ce type de projection, le centre de projection se situe à une distance finie du plan de projection. Il permet d’obtenir un effet visuel semblable à celui perçu par l’oeil humain.


Soit O le centre de projection. L’image B’ d’un point B de l’objet est obtenu en trouvant le point d’intersection de (BO) avec le plan de projection.
La taille des objets est inversement proportionnelle à leur distance au centre de projection : un objet éloigné sera plus petit que s’il était prés, comme il nous paraît dans la réalité.
Les distances et les angles sont modifiés lors de la projection sauf lorsque les surfaces sont parallèles au plan de projection. De même, le parallélisme n’est pas conservé sauf pour les droites incluses dans un plan parallèle au plan de projection.

On distingue trois types de projection en perspective, selon le nombre de point de fuite. Ceux-ci sont l’intersection des droites parallèles de l’objet une fois projeté.

La projection en perspective à 1 point de fuite a lieu lorsqu’une des faces d’un parallélépipède est parallèle au plan de projection. Celle à deux points de fuites se produit lorsque certaines arrêtes sont parallèles au plan de projection sans qu’aucune face ne lui soit parallèle. Dans les autres cas, on obtient une projection perspective à trois points de fuite.

Plus grand
Plus grand
Plus grand
b) Notion de repère:

Considérons un objet en trois dimensions que l'on souhaite visualiser. Il est défini de façon analytique dans un repère orthonormé (O,i,j,k) appelé repère absolu. Pour la visualisation de l'objet, il est nécessaire de le définir dans un repère lié à la caméra, centré sur cette dernière. L'axe Z est dirigé vers l'origine du repère objet selon l'axe du regard. L'axe Y, quant à lui, suit l'alignement des épaules. Le dernier axe est tel que (X,Y,Z) forme une base indirecte. L'écran, sur lequel va être projeté notre objet, est un plan orthogonal à l'axe du regard et est, lui même, pourvu d'un repère à 2 dimensions (A ,B,C) appelé repère de l'écran.Enfin, chaque objet peut être défini dans un repère (O',i',j',k') qui lui est propre, l'origine et les axes seront déterminés de la façon qui nous arrange le plus. C'est le repère de l'objet.

L'existence de ces divers repères va donc nécessiter le passage aisé de l'un à l'autre : en effet, le processus de visualisation demande la connaissance de la position des objets dans le repère global, puis leur projection dans le repère de l'écran. Aussi allons-nous présenter dans les parties suivantes les divers outils géométriques qui permettent la réalisation de ces diverses opérations.
Schémas représentant les différents repères

c) Quelques postulats de base :
Nous considérerons dorénavant :
- O’ centre du repère de l’oeil (= oeil)
- O centre du repère de l’objet
- l’écran est un plan perpendiculaire à la droite OO’ et se situe à une distance d de O’
- le système de coordonnées de l’observateur a son origine placé en son oeil, O’. L’axe des z pointe dans la direction de l’origine O. C’est donc un repère indirect
- L’oeil se situe à une distance r de O

De plus nous adopterons le système de coordonnées sphériques pour définir la position de l’oeil dans le repère de l’objet. Cela nous permettra un contrôle aisé de la vision de l’objet que l’on pourra voir sous n’importe quel angle en faisant varier les deux angles et .



d) Les dessous mathématiques du passage 3D 2D :
Une vue en perspective de l’objet sera générée simplement en projetant chaque point de l’objet sur le plan de l’écran. Pour calculer les deux coordonnées de ces points dans le repère de l’écran, il suffit simplement d’utiliser le théorème de Thalès.

On cherche la distance p’q’ (abscisse du point projeté dans le repère de l’écran) :
(p’q’) (pq) donc d’après le théorème de Thalès, on a :
d’où
par suite,
On cherche la distance p''q'' (abscisse du point projeté dans le repère de l’écran) :
(p''q'') (pq) donc d’après le théorème de Thalès, on a :
d’où
par suite,


e) Passage du repère de l’objet au repère de l’oeil :
Nous cherchons maintenant un moyen de calcul des coordonnées d’un point du repère de l’objet au repère de l’oeil. Plusieurs opérations seront nécessaires. Nous allons bien entendu utiliser les matrices homogènes, afin de regrouper toutes ces opérations, qui resteront inchangées, en une seule matrice.

Nous disposons des coordonnées sphériques de l’oeil dans le repère de l’objet ( , , r). Au départ, on considère un repère (O’,X1,Y1,Z1), centré sur l’oeil, identique au repère de l’objet (direct). Le but est de transformer ce repère en repère dit "de l’oeil".


Etape 1 : Translation de l’oeil O’ au point O, origine du repère de l’objet :

Nous savons que les coordonnées de O’ dans le repère de l’objet sont :
x = r * cos() * cos()
y = r * sin() * cos()
z = r * sin()

On peut donc écrire la matrice de translation suivante :

A = =

Remarque : Sur les schémas, nous continuerons de représenter le repère (O’,X1,Y1,Z1) non confondu avec le repère (O,X,Y,Z) en dépit de la précédente translation, dans un souci de clarté.

Etape 2 : Rotation du système (X1,Y1,Z1) de -(90-) autour de l’axe Z1 :

Cette rotation a pour but de ramener l’axe Y1 à couper l’axe Z. La matrice de transformation correspondante est la suivante :

B = =




Etape 3 : Rotation du système (X1,Y1,Z1) de l’angle (90 + ) autour de l’axe X1 :

Il s’agit maintenant d’amener l’axe Z1 à pointer vers l’origine O . On obtient la matrice suivante :

C = =




Etape 4 : Conversion du système (X1,Y1,Z1) direct en un repère indirect :

Cette dernière étape est effectué pour que la vision de l’objet se fasse dans un système d’axes orientés de la façon traditionnelle (axe des X " allant vers la droite " et l’axe des Y " allant vers le haut "). Il suffit simplement de changer l’orientation de l’axe X1. Pour cela, on utilise la matrice suivante :


D =




Conclusion :

Tout point de l’espace de l’objet aura, dans le repère de l’œil, des coordonnées obtenues comme suit :

= * A * B * C * D

La matrice générale de changement de repère est alors la suivante :




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